Fundamentos

Arithmética de Base

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Contar con localizadores de usuarios Los seres humanos generalmente han establecido el diez como el número para contar. Sin ninguna duda tiene algo que ver con el número de herramientas disponibles (dedos por ejemplo!). 

No hay nada mágico acerca del diez, sin embargo, eso lo hace la mejor opción (salvo aquellos que cuentan con esos accesibles y hábiles dedos). De hecho, algunas culturas han usado otros números para contar. Al parecer Babilonia usó sesenta , un sistema de numeración sexagesimal que ofrece algunas ventajas para los cálculos, ya que se puede dividir uniformemente por dos, tres, cuatro, cinco, seis, diez, doce, quince, veinte y treinta. 

contar con marcas La manera más simple de escribir los números es haciendo una marca para cada cosa contada. Note que nuestra manera usual de marcar grupos son formas de cinco. Hmm. Cinco dedos en una mano. ¿Alguna conexión, piensa usted?? 

Una vez que el número de cabezas de ganado que usted posee excede el número de dedos que usted tiene, queda claro que usted necesita una manera corta de escribir los números grandes. Nuestro sistema moderno usa la posición de un símbolo del número para indicar su valor real. Para que nuestros ganaderos no tengan que hacer varios metros de pequeñas marcas para anotar el número de vacas que tienen. 

En cambio ellos escriben números como 4567. Eso que realmente significa que son 4 miles más 5 cientos más 6 decenas más 7 unidades. Hasta ahora todo bien. ¿Cómo relaciona eso con el uso de otras bases? Observe como funciona esto.. 
Base 10
un mil = 10 x 10 x 10= 103
un cien = 10 x 10=102
diez = 10=101
uno =1=100

Esta manera de escribir 10 x 10 x 10 como 103 nombra al 3 como la potencia de 10. De manera que pudiéramos escribir nuestro número como poderes de 10 de esta manera: 

(4 x 103)+ (5 x 102)+ (6 x 101)+ (7 x 100 )

Cada dígito es multiplicado por una potencia de 10 para obtener el número completo. 

Podemos usar este mismo tipo de notación con cualquier base. Apenas si necesitamos saber cual es la base y cuales son los símbolos para los números más pequeños que la base. 


Las computadoras aman la Base 2 

Las computadoras no tienen diez dedos para contar con ellos. Todo lo que tienen son un sí y un no. Todo lo que sucede dentro de una computadora puede representarse con alguna combinación de sí y no. Nosotros los humanos usamos los dígitos 1 para sí y 0 para para no. Llamamos esta como la base 2 ya que hay sólo 2 símbolos usados. 

Una secuencia de sí-no-no-si-no-si-si-no-si se escribe para el beneficio de los humanos como 100101101. Esto sólo es un poquito mejor pero lleva menos esfuerzo para escribirlo. Esos números de base 2se llaman números binarios

Ahora el número 100101101 en base 2 no significa el mismo número que 100.101.101 en base diez = cien millones ciento un mil ciento uno. Esta es mucho más grande que la base de número 2. 

En cambio los 1s y 0s deben ser multiplicados por potencias de 2 para ver qué número se escribe aquí. 

100101101

en base 2
= en base 10
1 x 28 =1 x 256256
0 x 27 =0 x 1280
0 x 26 =0 x 640
1 x 25 =1 x 3232
0 x 24 =0 x 160
1 x 23 =1 x 88
1 x 22 =1 x 44
0 x 21 =0 x 20
1 x 20 =1 x 11
Total =301
en base 10

Las reglas para sumar números de base 2 son simple.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1= 11

Por ejemplo, agregando los dos números debajo: 
(no se olvide de llevarse un uno si la columna es 1 + 1 = 10) 

    10101101
+    1011110
 100001011


¡La Base 16 es para personas, le guste esto o no! 

Como las personas pasan un mal rato para guardar los números como los de más arriba, a menudo se escriben los mismos en la computadora todavía en otra base - la base 16. Tales números se denominan hexadecimales. Los números Hexadecimales realmente parecen raros porque tienen más símbolos que los que nosotros estamos acostumbrados. Se usan letras para los números desde el diez hasta el quince: A = 10; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15. Ellos pueden ser en mayúsculas o minúsculas, cualquiera de las dos formas. 

Los números que nosotros agregamos anteriormente si están escritos como de base 16 aparecen como: 

  3F2
+ B37
  F29
 
Interpretar cosas así como números de base 10 , (para aquellos de nosotros que no pueden dejar de contar con sus dedos!) usted necesita saber los poderes de 16.

163 = 4096
162 = 256
161 = 16
160 = 1

Por consiguiente el número F29 en base 16 es igual a: 

(F x 162)+ (2 x 161)+ (9 x 160) =

15 x 256 = 3840
2 x 16   =   32
9 x 1    =    9
           3881 en base 10

Esto no es ciertamente tan fácil de hacer. Pocas personas pueden multiplicar 15 fácilmente por potencias de 16. Pero la ventaja real para la base 16 es cuán fácil es cambiar de base 2 a base 16 y hacia atrás. 

Cada dígito del hexadecimal está abajo separado en un número de 4 dígitos binario. Estos dígitos simplemente se escriben en el mismo orden que el número hexadecimal y usted tiene el equivalente binario (base 2) del número. 

Para nuestro número F29 :

F es igual a 15 qué es 8 + 4 + 2 + 1. (Estas son las potencias de 2) 
Por lo que F = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20).

(Los números pequeños abajo se llaman  subíndices (subscripts) y nos dicen qué base para el número se está usando. Los números pequeños arriba son llamados exponentes. En este caso ellos son potencias de las bases.) 

Por lo que  F16 = 11112
Ya que 216  es  (1 x 21), entonces 216 = 00102 
Ya que 916 es (1 x 23 ) + (1 x 20), entonces 916 = 10012

Esto hace F2916 = 1111001010012.

Una vez que usted aprendió a escribir los números 0 a 15 en base 2, usted podría ir rápidamente de un lado a otro entre la base 2 y la base 16. Algunas personas que trabajan con las computadoras tienen que hacer simplemente eso. 

¡Agradezca a la bondad divina que nosotros no tengamos que hacer esto todo el tiempo! ¡Un sistema numérico es bastante para tener que lidiar con el !!

Pero ahora usted sabe un poco más sobre los números con que piensan las computadoras y cómo los anotan las personas


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Traducción: Enrique Chornogubsky   

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Actualizado por última vez el día: 18 Jun 2009